位移法是結(jié)構(gòu)力學(xué)中計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)（當(dāng)然它還可用來(lái)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)）的另一種非常典型的方法，它是力矩分配法、分層法、反彎點(diǎn)法、D值法等漸進(jìn)方法（專業(yè)課中使用較多）的基礎(chǔ)，也是矩陣位移法、有限單元法的基礎(chǔ)，也是結(jié)構(gòu)力學(xué)的精華和難點(diǎn)所在。與力法的序言中所述的相同，首先必須仔細(xì)琢磨、深刻理解位移法的基本思想。

本章復(fù)習(xí)要求：

深刻理解結(jié)點(diǎn)位移、弦轉(zhuǎn)角、桿端彎矩、固端彎矩、剛度等基本概念；位移法的基本思想、基本未知量、基本體系（結(jié)構(gòu)）、基本方程，深刻理解位移法的桿端彎矩方程，深刻理解位移法建立平衡方程的兩種方法。

熟練掌握用位移法的兩種具體方式求解無(wú)側(cè)移的連續(xù)梁和剛架，以及簡(jiǎn)單的有側(cè)移剛架的計(jì)算。

1、深刻理解位移法的基本思想與基本步驟 位移法的基本思想是“先拆后合”。

2、深刻理解位移法中的符號(hào)約定

在位移法中要套用公式寫桿端彎矩，因此符號(hào)約定（結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角、弦轉(zhuǎn)角、桿端彎矩一律以順時(shí)針為正）非常重要，在此對(duì)符號(hào)約定作以下說(shuō)明：

● 結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角、弦轉(zhuǎn)角、桿端彎矩在未求出之前一律假設(shè)正號(hào)，實(shí)際的方向根據(jù)求出的量的正負(fù)號(hào)確定；

● 弦轉(zhuǎn)角是什么含義？為什么要規(guī)定弦轉(zhuǎn)角的符號(hào)？

弦轉(zhuǎn)角就是從桿的變形前的弦線到變形后的弦線所轉(zhuǎn)過(guò)的角度，注意弦線與軸線有差別，弦線是將桿件的兩端截面形心連成的直線，而軸線是桿的各個(gè)截面形心連成的。

桿的兩端的支座線位移可能各種各樣，但從力法的例7－13可知，只有垂直于桿軸的相對(duì)位移才引起桿端彎矩。在小變形情況下，垂直于桿軸的相對(duì)位移等于弦轉(zhuǎn)角乘以桿的長(zhǎng)度。

● 前面第三章中說(shuō)，結(jié)力中彎矩不象材力中那樣規(guī)定正負(fù)號(hào)，彎矩圖上不標(biāo)正負(fù)號(hào)，畫在受拉一側(cè)，為何現(xiàn)在規(guī)定桿端彎矩以順時(shí)針為正？ 其實(shí)并不矛盾，可以統(tǒng)一起來(lái)：

3、關(guān)于位移法的桿端彎矩方程

位移法的桿端彎矩方程是為位移法的第二大步服務(wù)的，對(duì)每一根拆成的超靜定桿，不必再原始地用力法計(jì)算一遍，而是直接套通用的桿端彎矩的公式?，F(xiàn)對(duì)桿端彎矩方程作以下說(shuō)明：

● 一根超靜定桿的桿端彎矩包括：外載荷的貢獻(xiàn)；支座位移（轉(zhuǎn)角和垂直于桿軸的相對(duì)位移）的貢獻(xiàn)?？梢杂茂B加原理寫出總的桿端彎矩。 ● 桿端彎矩的公式較多，可以總結(jié)如下：

4、關(guān)于位移法中的固端彎矩

為了正確地寫出桿端彎矩表達(dá)式中的固端彎矩，特作以下兩點(diǎn)說(shuō)明：

● 首先必須會(huì)確定寫固端彎矩的計(jì)算模型。固端彎矩是對(duì)拆成的超靜定桿件，僅考慮荷載作用、不考慮支座移動(dòng)時(shí)的桿端彎矩，因此確定固端彎矩模型的原則是：結(jié)點(diǎn)位移（位移法的基本未知量）為零，支座保留原狀。

● 對(duì)固端彎矩，建議只記憶或在教材的表8-1查找其絕對(duì)值，其符號(hào)由變形圖確定，因?yàn)楸?-1中只給出了水平方位的梁在幾種荷載下的固端彎矩，不可能包含所有情況，而結(jié)構(gòu)中的桿件有各種支座布局（如左端鏈桿、右端固定）、各種方位、各種荷載情況。 如圖(a)，先勾畫出變形圖，有兩個(gè)反彎點(diǎn)，第一個(gè)反彎點(diǎn)左邊 向上凸、右邊向下凸，第二個(gè)反彎點(diǎn)左邊向下凸、右邊向上凸， 向哪邊凸一定是哪邊受拉，因此桿的A端上邊受拉，彎矩為 逆時(shí)針，B端上邊受拉，彎矩為順時(shí)針，

M

F

AB

ql2ql2F??,MBA?

1212

反彎點(diǎn) 反彎點(diǎn)

(a) (b)

對(duì)圖(b)情況，類似地分析得到M

FAB

如圖(c)

反彎點(diǎn)左邊向上凸，因此桿的A彎矩為逆時(shí)針，

3PlF

MAB??

16

反彎點(diǎn)

(c) 如圖(d)反彎點(diǎn)左邊向下凸、右邊向上凸， 因此桿的A端下邊受拉，彎矩 為順時(shí)針，B端上邊受拉，彎矩 為順時(shí)針，

ql2ql2F??,MBA?

1212

M

F

AB

ql2ql2F?,MBA? 63

(d)

5、關(guān)于位移法的基本未知量的判斷

位移法的基本未知量數(shù)目＝剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角數(shù)+結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移數(shù)

結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移的判斷是難點(diǎn)。在不計(jì)桿件軸向變形（注意教材P408的解釋）的前提下，有兩種手段判斷結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移：

● 勾畫結(jié)構(gòu)變形圖或弦線圖，根據(jù)變形圖或弦線圖確定結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移；

● 剛結(jié)點(diǎn)改鉸結(jié)點(diǎn)法：將結(jié)構(gòu)所有的剛結(jié)點(diǎn)（包括固定支座）改為鉸結(jié)點(diǎn)（因?yàn)閯偨Y(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角已作為位移法的未知量），為使此鉸接體系成為幾何不變需要添加的最少的鏈桿數(shù)（成為靜定結(jié)構(gòu)）即為結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移數(shù)。

6、關(guān)于位移法的基本體系

基于位移法的基本思想，有兩種具體的做法：

● 直接取隔離體建立平衡方程，就是教材上第五節(jié)以前用的方式，這種方式是位移法的入門方法，優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)便、直觀、易懂，缺點(diǎn)是不能象力法那樣標(biāo)準(zhǔn)化、模式化、程序化，沒(méi)有統(tǒng)一形式的平衡方程。

● 采用位移法的基本體系，就是教材上第五節(jié)講述的，這種方法雖然不很直觀易懂，但是非常標(biāo)準(zhǔn)化、模式化、程序化，有統(tǒng)一形式的平衡方程，對(duì)以后學(xué)習(xí)力矩分配法、矩陣位移法、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)也很有幫助。

教材上第五節(jié)對(duì)此方法講得很細(xì)致、很精彩，希望大家仔細(xì)學(xué)習(xí)、品味，加深理解和體會(huì)，熟練掌握此方式。在此強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：

直接建立平衡方程和采用基本體系建立平衡方程本質(zhì)上是相同的，即前面講的“先拆后合”與此節(jié)的“先鎖后松”無(wú)本質(zhì)差別；

與力法中一樣，位移法的基本思路也是過(guò)渡法，過(guò)渡的橋梁就是基本體系，位移法也有三個(gè)基本（基本未知量、基本體系、基本方程），也要深刻理解位移法基本方程的每個(gè)方程、每一項(xiàng)、每個(gè)符號(hào)的含義： 每個(gè)方程代表了一個(gè)平衡條件，即某個(gè)附加約束在荷載和支座位移作用下的總反力為零； 每一項(xiàng)代表了一個(gè)單獨(dú)因素作用在某個(gè)附加約束中產(chǎn)生的反力；

剛度系數(shù)kij表示了僅第j個(gè)附加約束發(fā)生單位位移時(shí)在第i個(gè)附加約束中產(chǎn)生的反力（仍然是“前地點(diǎn)、后原因”），剛度矩陣仍為對(duì)稱矩陣（反力互等定理），主系數(shù)仍恒大于零； 自由項(xiàng)FiP表示了外載荷單獨(dú)作用下在第i個(gè)附加約束中產(chǎn)生的反力。

7、位移法與力法的全面比較

學(xué)習(xí)了力法和位移法兩種計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的典型方法后，可以對(duì)兩種方法作一個(gè)全面的比較，以加深對(duì)它們的理解。