1. 宏觀狀態(tài)確定的粒子體系，下邊哪種說(shuō)法是正確的？

a.微觀狀態(tài)總數(shù) Ω 有確定值；

b.只有一種確定的微觀狀態(tài)；

c.只有一種確定的分布。

答：(a)正確。因 S＝lnΩ，當(dāng)體系的宏觀狀態(tài)一經(jīng)確定，就具有一定的熵值，從而就 有一定的 Ω 值。

2. 下邊關(guān)于分布的說(shuō)法，哪一種是正確的？

a. 一種分布就是一種微觀狀態(tài)，而且只是一種微觀狀態(tài)；

b. 一種分布就是其中具有能量為 1 的有一組粒子n1 具有能量為 2 的有一組粒 子n2?，具有能量為 i 的有一組粒子ni ；

c. 具有各種能量的各組分子，其中一組表示一種分布 ；

d. 各種分布具有相同的出現(xiàn)幾率。

答：(b)正確。因?yàn)榉戏植嫉亩x。

3. 麥克斯維－－玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)只能應(yīng)用于獨(dú)立粒子體系，下面的敘述，哪一個(gè)不是 這一統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)?

a. 宏觀狀態(tài)參量 N、U、V 為定值的封閉體系；

b. 體系由獨(dú)立可別粒子組成 U＝∑inii；

c. 各能級(jí)的各量子狀態(tài)中分配的粒子數(shù)，受包里不相容原理的限制；

d. 一可實(shí)現(xiàn)的微觀狀態(tài)，以相同的幾率出現(xiàn)。

答：(c)不符合麥－－玻統(tǒng)計(jì)，受保里不相容原理限制，該體系需應(yīng)用量子統(tǒng)計(jì)。

4. 使用麥克斯維-玻爾茲曼分布定律，要求粒子 N 很大。這是因?yàn)樵谕瞥鲈摱蓵r(shí)， a. 應(yīng)用拉氏未定乘因子法；

b. 應(yīng)用了斯特令近似公式；

c. 忽略了粒子之間的相互作用；

d. 假定了粒子是可別的。

答：(b)正確，由于應(yīng)用了斯特令公式，故其粒子數(shù) N 必須很大。

5. 對(duì)于一個(gè)獨(dú)立粒子體系，低能級(jí)上分配的粒子數(shù)目可以小于高能級(jí)上的粒子數(shù)嗎？ 答：可以。依 M－－B 分布定律 L，K 兩個(gè)能級(jí)的粒子數(shù)之比為：

nL/n(gL/g)EXp[－(L)/KT]

上式中 L 為高能級(jí)，由于εL＞ε 1，但 隨著T增大時(shí)便 逐漸接近于1，當(dāng) gL/g ＞1 時(shí)，便可能 出現(xiàn) nL＞

n

6. 寫出物質(zhì)的量為1摩爾時(shí)的粒子體系的熵、內(nèi)能、焓、亥姆霍茲自由能及吉布

斯自由能等熱力學(xué)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)表達(dá)式。

答：Sm(可別)＝NKlnq＋U/T＝Rlnq＋RT(Эlnq/ЭT)V

Sm(不可別)＝NKln(qe/N)＋U/T＝Rln(qe/NA)＋RT(Эlnq/ЭT)V

Um(可別)＝Um(不可別)＝RT2(Эlnq/ЭT)V

Hm(可別)＝Hm(不可別)＝RT[T(Эlnq/ЭT)V＋V(Эlnq/ЭV)T]

Am(可別)＝－RTlnq

Am(不可別)＝－RTln(qe/N)

Gm(可別)＝－RT[lnq－V(Эlnq/ЭV)T]

Gm(不可別)＝－RT[ln(qe/N)－V(Эlnq/ЭV)T]

7. 若規(guī)定最低能級(jí)能量為 0，則體系 0K 時(shí)的內(nèi)能為 U0＝N0。若規(guī)定 0＝0，則 U0＝N0＝0。如何理解體系內(nèi)能的意義?

答：因 U＝NKT2(lnｑ/T)V 則 U0＝NKT2(lnT)V 0/

U0＝NKT2(lnｑ0/T)V

∵ 0＝ｑ0EXp(0/KT) ∴ U0＝U0＋NE0

所以選取 0 為最低能級(jí)的能量值，體系的內(nèi)能比選取零作最低能級(jí)的能量值多 N0。因體系在 0K 時(shí)的內(nèi)能為一定的，基準(zhǔn)值既選取 U0，也可選取 U0，兩者 相差 Nε0 。

8. 從配分函數(shù)的意義，思考平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)及振動(dòng)配分函數(shù)分別與溫度的關(guān)系。

答：因 ｑ(平動(dòng))＝(2πmKT)3/2V/h3

若為固體或液體則 ｑ(平動(dòng))∝ T3/2；若為氣體，代入 V＝NKT/p，

∴ ｑ(平動(dòng))∝ T5/2，

因 ｑ(轉(zhuǎn)動(dòng))＝３π2IKT/ζh ∴ｑ(轉(zhuǎn)動(dòng))∝ T

因 ｑ(振動(dòng))＝∑iN[1-exp(-hν/kT)] 其中，線型分子 N＝3n-5 ；

非線型分子 N＝3n－6，可見 ｑ(振動(dòng))與 T 無(wú)簡(jiǎn)單關(guān)系。

9. 為什么非線型多原子分子，振動(dòng)模式為 3n-6，而線型分子則為 3n-5（n 是分子中 的原子數(shù)）?

答：對(duì)于一個(gè)由五個(gè)原子組成的分子，若要確定全部粒子的瞬時(shí)位置，需要３n個(gè)坐標(biāo)，其中三個(gè)坐標(biāo)為質(zhì)心坐標(biāo)，即整個(gè)分子的平動(dòng)自由度；對(duì)于線型分子要用兩個(gè)坐標(biāo)為規(guī)定了分子相對(duì)于某一固定的坐標(biāo)，即該線型分子的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，故其余的3n－5 個(gè)坐標(biāo)確定原子間的相對(duì)位置，即有 3n－5 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。對(duì)于非線型分子，則要三個(gè)坐標(biāo)確定其空間取向，即３個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，其振動(dòng)自由度為 3n－3－3＝3n－6。

10. 解釋單原子分子理想氣體 CV，mR；雙原子分子理想氣體在通常溫度下CV，m＝2.5R，溫度高時(shí)可能等于3.5R。

答：對(duì)單原子分子：ｑ＝ｑ0(電子)ｑ(平動(dòng))＝ｑ0(電子)(2πmKT)3/2V/h3

CV，m＝(ЭUm/ЭT)V

∵ Um＝RT2［[lng0(電子)（2πmKT)3/2V/h3]/T］V＝3RT/2

平動(dòng)自由度有３個(gè)自由度，每個(gè)自由度對(duì) Um 貢獻(xiàn) RT/2，

而 CV，m＝(ЭUm/ЭT)V＝3R/2。每個(gè)自由度對(duì) CV，m 貢獻(xiàn) R/2。

對(duì)于雙原子分子：

ｑ＝ｑ0 (電子)·{(2πmKT)3/2V/h3}{8π2IKT/(ζh2)}[1-exp(-hν/kT]-1

代入，Um＝RT{2.5＋(hν/kT)/[exp(hν/kT)-1]}

室溫下，exp(hν/kT)-1≈exp(hν/kT)，Um＝RT[2.5＋(hν/kT)/exp(hν/kT)]

Cm，V＝(Um/T)V＝5R/2＋R(hν/kT)2exp(hν/kT) ，∵ hν/k＞＞T，

CV，m＝５R/2， 即三個(gè)平動(dòng)二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度中的每一運(yùn)動(dòng)自由度對(duì) Cm，V 為 R/2， 高溫下，∵ hν/kT＜＜T，Um＝7RT/2 便有 CV，m＝7R/2

即總共有三個(gè)平動(dòng)，二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)振動(dòng)自由度，每個(gè)振動(dòng)自由度貢獻(xiàn)為 CV，m＝R。

11. 思考一物質(zhì)自固態(tài)到液態(tài)到氣態(tài)其熵值變化的情況。

答：可以由兩方面進(jìn)行考慮

(a) 對(duì)同一物質(zhì) Ω(固) ＜ Ω(液)＜ Ω(氣)，而 S＝KlnΩ

所以 S(固) ＜ S(液) ＜ S(氣)

(b) 因 S＝NKlnq＋U/T 對(duì)同一物質(zhì)有 ， U(固)＜ U(液)＜ U(氣)

q(固) ＜ q(液)＜ q(氣)，所以 S(固) ＜ S(液) ＜ S(氣)

12. 比較同一氣體的 Cm、c(平) 及 √c2(平) 的大小。

答：Cm＝(2KT/m)1/2 ， c(平)＝(8KT/mπ)1/2 ，

√c2(平)＝(3KT/m)1/2

∴ Cm ＜ c(平)＜[c2(平)]1/2

13. 一方形箱體積為 V，其中有 n 個(gè)質(zhì)量為 m 的理想氣體分子。它們從各個(gè)方向碰 撞器壁而產(chǎn)生壓力。在 x 方向上因碰撞而產(chǎn)生的壓力應(yīng)為以下何式？

a. p＝2mnv2x/V； b. p＝2mnc(平)/V；

c. 2mnvx2(平)/V d. 2mnc2(平)/V

答：(c)是正確的。

14. 常溫常壓下，氣體分子的 ζ≈10-10 m，n≈1024 m-3，c≈102 m·s-1。請(qǐng)估算 ZA、ZAA及平均自由程的數(shù)量級(jí)。

解：ZA＝πnζ2c＝3.14×1024×(10-10)2×102≈106ｓ-1

ZAA＝(√2)πζ2n2c/2＝(√2)π×(10-10)2×(1024)2×102/2 ≈1030 m-3·s-1

L＝(√2)πnAζA2/2＝c/ZA＝10-2/106＝10-4 m

15. 為什么得到（6-136）式即 ZAA 的計(jì)算式時(shí)除以2，而得到（6-138）式即 ZAB 的計(jì) 算時(shí)不除以2？

答：(6-136) 式是同種分子 A 之間的碰撞頻率計(jì)算公式，因每個(gè) A 分子在撞與被撞二 種情況下重復(fù)算一次，故要除以2，而 ZAB 為兩種不同分子間的碰撞，計(jì)算 A 分子 碰撞 B 分子，或B分子碰撞A分子，未重復(fù)計(jì)算，故不要除以2。